воскресенье, 28 декабря 2008 г.

Геометрия. Вписанные и описанные многогранники.

Вписанные и описанные многогранники.

I. Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.
Из определения следует: а). Все вершины вписанного в шар многогранника равноудалены от некоторой точки (центра описанной сферы).
б). Каждая грань вписанного в сферу многогранника является вписанным в некоторую окружность многоугольником, именно в ту, которая получается в сечении сферы плоскостью грани; при этом основания перпендикуляров, опущенных из центра описанной сферы на плоскости граней, являются центрами описанных около граней окружностей.
Отсюда следует, что не каждый многогранник можно вписать в шар, ибо не каждый многоугольник можно вписать в окружность. Однако если около какого-то многогранника можно описать сферу, то только одну: её центр получается как общая точка перпендикуляров к плоскостям граней, восстановленных в центрах описанных около граней окружностей, а такая точка может быть только одна (или не одной!).
1. Около любой правильной призмы можно описать сферу, причём её центр О есть середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.
Центр описанной около куба сферы совпадает с его центром симметрии, т.е. с точкой пересечения диагоналей. Это справедливо для любого прямоугольного параллелепипеда. Никакие другие параллелепипеды не могут быть вписаны в сферу.
2. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу, причём её центр лежит на оси пирамиды.

II. Сфера и ограниченный ею шар называются вписанными в некоторый многогранник, если они касаются всех граней многогранника.
Не в каждый многогранник можно вписать сферу; среди прямоугольных параллелепипедов описанным около сферы (шара) может быть только куб.
В любую правильную пирамиду можно вписать сферу (шар), причём её центр лежит на оси пирамиды, а точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах пирамиды.

III. Отношение радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника равно 1:2, значит, высоты правильного треугольника (как и медианы) делятся в отношении 2:1, считая от вершин. Для правильного тетраэдра соотношение r:R=1:3. Поэтому, высоты правильного тетраэдра (их четыре) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин.
Впервые этот факт был открыт Архимедом, который теперь носит имя этого древнегреческого учёного. В 212 г. до н.э. Архимед был убит одним из римских легионеров и похоронен с почестями, а на могильной плите был изображён цилиндр и вписанный в него шар. Так хотел сам учёный, поскольку очень гордился открытым им соотношением объёмов этих фигур – 3:2.

Продолжение заданий на исследования функций.

4. Дана функция f(x)=sin2x+2sinx.

a). Вычислите f(p/3).
б). Решите уравнение f(x)=0.
в). Докажите, что f(x)/4sinx = cos 2x/2
г). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [0,p].

5. Дана функция f(x)=3x – 9.
а). Вычислите f(log3 5).
б). Решите уравнение f(x)=-3.
в). Решите неравенство f(x)>0.
г). Исследуйте функцию f на монотонность.

7. Дана функция f(x)=х2-3х-10.
а). Решите уравнение f(x)=x-5.
б). Найдите тангенс угла между осью Ох и прямой, касающейся графика функции f в его точке с абсциссой х0=5.
в). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [-1;4].

8. Дана функция f(x)=(х-1)(х-4)2.
а). Напишите уравнение касательной к графику функции f в его точке с абсциссой х0=4.
б). Постройте график функции f на отрезке [1;4].
в). Найдите наименьшее значение функции f.
г). Запишите промежутки знакопостоянства.

Решение задач на исследование функций.

Решите задачи, которые называются "сюжетными". Это задачи, у которых общая функция, а задания разные.
Блоки сюжетных задач.

1. Дана функция f(x)=x – 9/х.
а). Найдите координаты точек пересечения графика функции f(х) с осью абсцисс.
б). Найдите все значения параметра а такие, что число х=-1 является корнем уравнения f(x)=a.
в). Исследуйте функцию f на монотонность.
г). Постройте график функции f на отрезке [-5;5].
д). Напишите уравнение касательной l к графику функции f(х) в его точке с абсциссой х0=-1.
е). Докажите, что при любом х/=0 выполняется соотношение f(x)+9f(1/х)=-80x.


2. Дана функция f(x)= log2((4-х)/(х-1)).
а). Вычислите f(2).
б). Найдите координаты точек пересечения графика функции f(х) с осью абсцисс.
в). Найдите область определения функции f.
г). Решите уравнение f(x)=log4(25х2-40х+16).
д). Решите неравенство f(x)+3< log2 (13-3x).
е). Исследуйте функцию f на монотонность.

3. Дана функция f(x)=4х – 2х+2.
a). Вычислите f( log2 3).
б). Найдите координаты точек пересечения графика функции f с осями координат.
в). Решите неравенство f(x)>-3.
г). Напишите уравнение у=m(x) касательной к графику функции f в его точке с абсциссой х0=1.
д). Найдите наименьшее значение функции f.

вторник, 28 октября 2008 г.

Проценты. Задача 2

Задача:
Есть два продукта по одной цене. Цену одного продукта понижают 2 раза каждый раз на 15%; цену второго продукта понижают 1 раз на х%. На сколько % понизили цену второго продукта, если их цены сравнялись?
Решение:
Пусть С-первоначальная стоимость продукта того и другого вида.
С(1-15:100)(1-15:100) - стоимость 1 продукта после двукратного снижения цены.
С(1-х:100) - стоимость 2 продукта после снижения цены.
Зная, что их цены сравнялись, составим уравнение.
С(1-15:100)(1-15:100)=С(1-х:100)
0,85*0,85=1-х:100
0,7225=1-х:100
х:100=0,2775
х=27,75%
Ответ:цену второго продукта понизили на 27,75%.
Решите самостоятельно:
  • Предприятие работало 3 года. Выработка продукции за второй год работы возрасла на р%, а на следующий год выросла на 10% больше, чем в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%.
  • Себестоимость 1 единицы продуции была 50 крон. В течение 1 года цена поднялась на какой-то процент, а на второй год она упала на такое же колличество процентов. После всего себестоимость была 48 крон. Найти процент повышения и процент понижения себестоимости продукта.

Проценты. Задача 1

Задача:
Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?
Решение:
Проследим за содержанием олова в первоначальном сплаве и в получившемся. В 12 кг сплава было 45% меди, значит, 55% олова. 12*0,55 =6,6 кг - чистого олова в первоначальном сплаве. (12+х) кг - масса нового сплава, где х кг - масса чистого олова, которую надо добавить. В нём было 40% меди, значит, 60% олова. Тогда 0,6*(12+х) кг - масса чистого олова в новом сплаве. Имеем уравнение:
0,6(12+х)=12*0,55+х
7,2 +0,6х=6,6+х
0,6=0,4х
х=1,5
Ответ: к пероначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова.


Решите самостоятельно:
1. Имеется 735 г 16%-го раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-й раствор йода. Сколько граммов спирта надо прибавить к уже имеющемуся раствору? (441 г)
2. Морская вода содержит 5% соли. Склько пресной воды надо добавить к 210 кг морской, чтобы получить смесь, содержащую 3% соли? (140 кг)

Инструкция по использованию

Блог создан для подготовки к государственному экзамену по математике. Здесь вы найдёте образцы решения задач, а также задачи, которые можно решать самостоятельно.

Литература:
  • Казаков А. "Школьнику о рыночной экономике";
  • "Детский экономический словарь";
  • Петрова И. "Проценты на все случаи жизни";
  • Lehte Vihand "Matemaatika riigieksamite ülesannete lahendused".