Геометрия. Вписанные и описанные многогранники.

Вписанные и описанные многогранники.

I. Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.
Из определения следует: а). Все вершины вписанного в шар многогранника равноудалены от некоторой точки (центра описанной сферы).
б). Каждая грань вписанного в сферу многогранника является вписанным в некоторую окружность многоугольником, именно в ту, которая получается в сечении сферы плоскостью грани; при этом основания перпендикуляров, опущенных из центра описанной сферы на плоскости граней, являются центрами описанных около граней окружностей.
Отсюда следует, что не каждый многогранник можно вписать в шар, ибо не каждый многоугольник можно вписать в окружность. Однако если около какого-то многогранника можно описать сферу, то только одну: её центр получается как общая точка перпендикуляров к плоскостям граней, восстановленных в центрах описанных около граней окружностей, а такая точка может быть только одна (или не одной!).
1. Около любой правильной призмы можно описать сферу, причём её центр О есть середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы.
Центр описанной около куба сферы совпадает с его центром симметрии, т.е. с точкой пересечения диагоналей. Это справедливо для любого прямоугольного параллелепипеда. Никакие другие параллелепипеды не могут быть вписаны в сферу.
2. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу, причём её центр лежит на оси пирамиды.

II. Сфера и ограниченный ею шар называются вписанными в некоторый многогранник, если они касаются всех граней многогранника.
Не в каждый многогранник можно вписать сферу; среди прямоугольных параллелепипедов описанным около сферы (шара) может быть только куб.
В любую правильную пирамиду можно вписать сферу (шар), причём её центр лежит на оси пирамиды, а точки касания сферы с боковыми гранями лежат на апофемах пирамиды.

III. Отношение радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника равно 1:2, значит, высоты правильного треугольника (как и медианы) делятся в отношении 2:1, считая от вершин. Для правильного тетраэдра соотношение r:R=1:3. Поэтому, высоты правильного тетраэдра (их четыре) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин.
Впервые этот факт был открыт Архимедом, который теперь носит имя этого древнегреческого учёного. В 212 г. до н.э. Архимед был убит одним из римских легионеров и похоронен с почестями, а на могильной плите был изображён цилиндр и вписанный в него шар. Так хотел сам учёный, поскольку очень гордился открытым им соотношением объёмов этих фигур – 3:2.